Integración de potencias y funciones trigonométricas

 

Conosimineto personal.

A continuación cito textualmente la información compartida por el docente en clase. Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permiten obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.

las observaciones y conocimientos que logre percivir y compreneder es que en este metodo hay unas identidades trigonometricas que se utilizan para apoyarse en el desarrollo de estas integrales.

Conosimiento de consulta

La integración de potencias de funciones trigonométricas es un tema fundamental en cálculo, especialmente cuando se trata de aplicar las técnicas adecuadas para resolver integrales que involucran senos y cosenos de diferentes potencias.

https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-integrales-trigonometricas-producto-de-potencias-de-senos-y-cosenos/#:~:text=Caso%201%3A%20Si%20%24n%24%20es%20impar

Integración por fracciones parciales

 

Fraccionando el Caos! La Magia de la Integración por Fracciones Parciales

Conosimiento personal

La integración por fracciones parciales es una técnica matemática que te permite resolver integrales de fracciones racionales descomponiéndolas en fracciones más simples, lo cual hace que el proceso de integración sea mucho más manejable. Pero en lugar de ver la fracción como algo complicado,

Imagina que tienes una fracción racional (una división de polinomios) que parece un monstruo matemático gigante. La integración por fracciones parciales lo convierte en piezas más pequeñas y fáciles de manejar. Básicamente, descompones una fracción en sumas o restas de fracciones más simples.

Proceso básico:

1. Factorizar el denominador.
2. Escribir la fracción como una suma de fracciones más simples.
3. Resolver cada fracción individualmente.

Vamos a integrar la fracción:

$$\int \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} \, dx$$

Paso 1: Descomponemos la fracción en fracciones parciales:

Queremos expresar la fracción como la suma de dos fracciones más simples:

$$\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$$

​Expandimos ambos lados:

$$3x + 5 = A(x) - 2A + B(x) + B$$
$$3x + 5 = (A + B)x + (-2A + B)$$

Ahora igualamos los coeficientes de $x$ y los términos constantes:

1. $A + B = 3$
2. $-2A + B = 5$

Resolvemos este sistema de ecuaciones y encontramos:

$$A=2,B=1$$

Paso 4: Reemplazamos $A$ y $B$ en la descomposición:

$$\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}$$

Paso 5: Integramos cada término:

$$\int \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} \, dx = \int \frac{2}{x + 1} \, dx + \int \frac{1}{x - 2} \, dx$$
$$= 2 \ln |x + 1| + \ln |x - 2| + C$$

La integración por fracciones parciales es una herramienta poderosa para resolver integrales de fracciones racionales. El proceso puede parecer un poco largo, pero es muy efectivo para simplificar fracciones complejas y hacer que las integrales sean mucho más fáciles de manejar.

https://www.youtube.com/matematicasprofealex/join

Tecnicas de integracion por partes

Integración por partes

 Conocimiento personal

Durante la clase del tercer parcial se introdujeron temas nuevos, y uno de ellos fue "Descubrir cómo funcionan las técnicas de integración". El docente nos adelantó que aprenderíamos cuatro métodos de integración, comenzando con la integración por partes.

Este método se basa en una fórmula que nos permite descomponer funciones complejas en productos de funciones más simples, lo cual facilita su resolución. En clase, se presentaron varios ejemplos prácticos que ayudaron a comprender cómo aplicar este procedimiento.

Además, se nos proporcionó una herramienta muy útil para identificar qué parte de la integral corresponde a $u$ y qué parte a $dv$: la regla ILATE. Esta regla nos sugiere el orden de preferencia para elegir $u$ y $dv$, lo que facilita el proceso de integración por partes.

Al seguir los ejemplos y poner en práctica los conceptos, logré entender de manera más clara cómo funciona este método. Sin embargo, lo que más me costó al principio fue el proceso de derivación e integración de las funciones $u$ y $dv$, ya que es crucial obtener correctamente las piezas necesarias para sustituirlas en la fórmula de integración por partes. A pesar de la dificultad inicial, al practicar y aclarar algunos detalles en clase, pude comprender cómo realizar los pasos con mayor seguridad.

Conosimiento de consulta.

La integración por partes es un método utilizado en cálculo para resolver integrales de funciones que se pueden expresar como el producto de dos funciones. Este enfoque es especialmente útil cuando la simple integración de las funciones no resulta factible.

La fórmula básica de la integración por partes se deriva de la regla del producto en cálculo diferencial y se enuncia de la siguiente manera:

Donde:

𝑢 es una función que se elige para derivar.

𝑑𝑣 es la otra parte de la integral que se integra.

𝑑𝑢 es la derivada de 𝑢.𝑣 representa la integral de 𝑑𝑣.

• Proceso de Aplicación

La técnica se aplica siguiendo estos pasos:

Seleccionar 𝑢 y 𝑑𝑣: Se escoge cuidadosamente 𝑢 y 𝑑𝑣 para simplificar el cálculo. Comúnmente, 𝑢

 se escoge de tal manera que su derivada 𝑑𝑢 facilite la integral resultante.

Calcular 𝑑𝑢 y 𝑣: Tras escoger 𝑢, se encuentra 𝑑𝑢 realizando la derivada. De igual manera,

 se integra 𝑑𝑣 para conseguir 𝑣.

Sustituir y simplificar: Se reemplazan los valores de 𝑢, 𝑣, y ∫𝑣,𝑑𝑢 en la fórmula dada.

Resolver la nueva integral: La integral resultante, que se obtiene, debe ser más accesible de resolver. Se lleva a cabo la integración para obtener la función resultante.

Ejemplo de un ejersicio.

Khan Academy. (2024). khanacademy.org. https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/a/integration-by-parts-review

Calculo de volúmenes mediante Método de discos y arandelas.

"Cálculo de Volúmenes: Método de Discos y Arandelas"

 Conocimiento personal

Al inicio de la clase, el maestro introdujo el tema del cálculo de volúmenes mediante el método de discos y arandelas. Presentó una función concreta, acompañada de una gráfica que facilitó la comprensión del concepto. Utilizando mi imaginación, logré visualizar cómo la rotación desde el eje generaba  una imagen completa tipo disco.

A medida que el maestro explicaba el procedimiento paso a paso, entendí mejor cómo realizar las operaciones matemáticas involucradas. Sin embargo, en la práctica, encontré dificultades al intentar completar la última parte del ejercicio, lo que me hizo sentir un poco frustrado. Reconocí que mi participación en clase fue buena, pero para mejorar mi comprensión, necesito practicar más y revisar los conceptos clave.

Conosimiento deconsulta.

El cálculo de volúmenes de sólidos de revolución es una aplicación fundamental de la integración en cálculo. Existen dos métodos principales para calcular el volumen de un sólido de revolución: el método de discos y el método de arandelas. A continuación, se presentan las definiciones, fórmulas y ejemplos para cada uno de estos métodos.

. Método de Discos

El método de discos se utiliza cuando se rota una región alrededor de un eje, generando un sólido cuyo volumen se puede aproximar mediante discos.

 Concepto

Cuando una región en el plano se hace girar alrededor de un eje horizontal, se generan discos cuyas secciones transversales son círculos.

 Fórmula

Si la función que se rota es F(X)  sobre el intervalo (a,b) , el volumen  V del sólido generado se calcula mediante la integral definida:

https://flexbooks.ck12.org/cbook/c%C3%A1lculo-2.0/section/6.3/primary/lesson/s%C3%B3lidos-de-revoluci%C3%B3n%3A-vol%C3%BAmenes-por-discos-calc-spn/.

Método de Arandelas

El método de arandelas se utiliza cuando el sólido de revolución tiene un agujero en el medio, lo que resulta en una sección transversal en forma de anillo.

 Concepto

Este método aplica cuando se rota una región delimitada entre dos funciones F(x) (función superior) y g(x)  (función inferior) alrededor de un eje.

 Fórmula El volumen 

 se calcula mediante la integral definida de la siguiente manera:

​El método de discos es aplicable para sólidos de revolución sin cavidades, mientras que el método de arandelas es más adecuado cuando hay espacios vacíos en el interior.​ Ambos métodos dependen de la integral definida para calcular el volumen y son herramientas esenciales en el cálculo de volúmenes en distintas aplicaciones prácticas.

JAVI ER dice: (2024). Volúmenes: discos o anillos – Recursos Matemática en Linea. matematicaenlinea.com. https://matematicaenlinea.com/recursos/basica2/unidad-5-aplicaciones-de-la-integral/volumenes-discos-o-anillos/

 

Calculo de areas entre 2 graficas

 "Áreas en Juego: Las Gráficas que Se Pasan de la Raya"

Conosimiento personal

En clase, el docente nos presentó el tema del cálculo de áreas de la región limitada por gráficas. Se incluyó una gráfica en la que se mostraban dos curvas que se interponían, con el eje vertical representando la variable y y el eje horizontal la variable x. A medida que el docente explicaba el procedimiento para resolver las áreas indicadas, me di cuenta de que no estaba comprendiendo completamente el método.

Siento que el nivel del contenido podría estar sobrepasando mis capacidades de retención, ya que, aunque en algunos momentos puedo seguir las explicaciones, mi comprensión es intermitente. Esto me impide dominar este método de resolución para las evaluaciones de áreas.

En un segundo ejercicio, se presentó el cálculo total de áreas, pero al igual que en el primero, no logré conectar con los procedimientos necesarios para abordar este tipo de problemas. A pesar de estos desafíos, quiero mencionar que seguiré esforzándome para dominar este concepto matemático.

Conosimiento deconsulta.

El cálculo de áreas entre dos curvas se realiza mediante la integración, utilizando los límites definidos por los puntos de intersección de las funciones.

Primero, es crucial identificar los puntos de intersección entre las dos funciones. Estos puntos definen los límites de integración. Para encontrar estos puntos, se igualan las funciones:

𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥 )

Al resolver esta ecuación, se obtendrán los valores de x donde las funciones se intersectan.

Configuración de la Integral Una vez obtenidos los límites de integración a y b (los puntos de intersección), el área A entre las curvas se calcula con la integral del valor absoluto de la diferencia entre las funciones. La fórmula es:

Si se establece que

en el intervalo, la fórmula se simplifica a

Por el contrario, si .

se invierte el orden de resta.

Evaluación de la Integral Una vez configurada la integral, se puede evaluar utilizando técnicas de integración estándar. Esto puede incluir la integración directa de funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales, entre otras.

Ejemplo de Cálculo

Supongamos que las funciones son

Primero, encontraríamos los puntos de intersección resolviendo:

Reordenando se tiene:

Al resolver esta ecuación cuadrática, se obtienen los valores de X , que pueden ser usados como límites de integración. Una vez determinados los puntos de intersección y asegurados de que f (x) sea la curva superior en dicho intervalo, la integral sería:

Donde Xa y Xb

son los puntos de intersección encontrados previamente.

​El cálculo de áreas entre dos gráficas es una aplicación esencial del cálculo integral, lo que permite encontrar áreas en diferentes contextos matemáticos y físicos.​ Conocer la ubicación de los puntos de intersección y la relación entre las funciones en un intervalo específico son claves para realizar estos cálculos correctamente.

Math Scene - Equations III- Lesson 3 - Quadratic equations. (2013). rasmus.is. http://rasmus.is/uk/t/F/Su52k03.htm

Calculus I - Area Between Curves. (2024). lamar.edu. https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/areabetweencurves.aspx

Lic. Ing. Industrial David Israel Moreno Gonzalez  Universidad INIDE

no cuento con derechos de autos de los videos.

“¡Integra como un Ninja! Cambios de Variable en Acción”

 

Conosimiento personal.

En la clase número 4, el maestro presentó el tema de la integración por cambio de variable. Lo que entendí es que este método tiene como objetivo simplificar el proceso de resolución de integrales, facilitando su cálculo al transformar la integral original en una forma más manejable. Sin embargo, al aplicar este método, no logré sentirme completamente cómodo.

Considero que la técnica de cambio de variable requiere más práctica y una mayor cantidad de ejercicios para dominarla adecuadamente. A medida que realice más ejercicios y me familiarice con el proceso, espero poder entender mejor las sutilezas de este enfoque y aplicarlo con mayor confianza.

Conosimineto por medio de investigacion.

El cambio de variable es una técnica fundamental en el cálculo integral que se utiliza para simplificar la resolución de integrales. Esta técnica consiste en transformar una integral en otra mediante una sustitución de variable, lo que a menudo permite convertir integrales complejas en integrales más simples y manejables.

Concepto y Propósito

El propósito principal del cambio de variable es facilitar la evaluación de integrales que, de otro modo, serían difíciles o imposibles de resolver directamente. Al hacer una sustitución adecuada, se puede reducir el grado de dificultad y obtener resultados más fácilmente.

Cita: "El cambio de variable es una de las herramientas más poderosas del cálculo integral, permitiendo simplificar la estructura de la integral original" (Stewart, 2015).

Procedimiento

El proceso típico del cambio de variable incluye:

1. Seleccionar una nueva variable: Se elige una función que simplifique la integral.
2. Calcular la derivada: Determinar la derivada de la nueva variable para ajustar el diferencial.
3. Sustituir en la integral: Reemplazar los términos originales por los términos de la nueva variable.
4. Resolver la nueva integral: Evaluar la integral en la nueva variable.
5. Regresar a la variable original: Sustituir la variable de nuevo a la forma original, si es necesario.

• Cita: "El cambio de variable permite no solo simplificar la integral, sino también proporcionar una nueva perspectiva sobre el problema en cuestión" (Thomas & Finney, 2016).

1. Ejemplos y Aplicaciones

   La técnica de cambio de variable se aplica en múltiples contextos, desde integrales definidas hasta problemas en física y ingeniería. Por ejemplo, se utiliza en la evaluación de áreas bajo curvas y en la resolución de problemas de probabilidad.

   Cita: "En muchas aplicaciones, el cambio de variable no solo ahorra tiempo, sino que también revela relaciones entre diferentes áreas de estudio" (Hewitt & McBain, 2018).

Integrales Definidas

                El Arte de Encontrar el Área Bajo la Curva y Arriba de la Confusión

Conosimiento personal

El conocimiento impartido por el docente nos presenta las integrales definidas como un cambio radical en comparación con las antiderivadas. A través de una exposición teórica clara, se nos explica qué son las integrales y cómo se aplican. Desde mi perspectiva, el nivel de dificultad ha aumentado considerablemente, y me he esforzado por entender el desarrollo de las operaciones y sus procedimientos.

El maestro muestra varias maneras de llegar a los resultados, incluyendo métodos antiguos utilizados por grandes científicos y matemáticos. Hemos hecho un recorrido en el tiempo a través de estas técnicas de integración y luego las comparamos con los métodos actuales, comprobando que ambos son factibles. Sin embargo, el método moderno resulta ser más preciso, especialmente en los resultados decimales.

Antes de finalizar la clase, el docente nos proporcionó ejercicios, donde el que terminara primero podría irse. Me sorprendió darme cuenta de que realmente había comprendido el proceso de desarrollo, gracias al apoyo del maestro. Espero que, al trabajar en las tareas, el aprendizaje se vuelva aún más claro.

Conosimiento deconsulta.

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES .

Proyecto e-Math 13 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu), Ángel A. Juan (ajuanp@uoc.edu)

En este bock trataremos el problema del cálculo del Área y su importancia en otras ramas de la ciencia para la resolución de situaciones reales, tales como puede ser el cálculo del espacio recorrido por un móvil en Física. Le daremos un enfoque histórico y veremos algunos ejemplos que surgieron hace más de 2.000 años, cuando los griegos inventaron el método de exhaución para calcular áreas de figuras planas. Veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la regla de Barrow, conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. 

El método de Exhaución. El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas

Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados. Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos. 

Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta.

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando. 

‰ Integral de una función escalonada.
 Propiedades. 

Nos parece interesante, antes de definir la integral de una función cualquiera, estudiar la integral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y fáciles, y todas las propiedades de estas integrales son las mismas que las de las integrales de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremos de integral de una función general, será a partir de estas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función. 

Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX

Como vimos en el apartado 1, este tipo de funciones se llaman escalonadas. Nos interesa calcular el área que delimitan f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX. El área que nos interesa se puede descomponer en tres rectángulos: el “rectángulo” A cuya base es el intervalo [0,1], y altura 1; el rectángulo B de base [1,2], y altura 3; y el rectángulo C de base [2,4], y altura 5. Por lo tanto, para calcular el área total hemos de sumar el área de estos tres rectángulos. Si denotamos por x0, x1, x2, x3 los puntos que delimitan las bases de los rectángulos y por r1, r2, r3 las alturas de dichos rectángulos tenemos que. 

http://www.sectormatematica.cl/educsuperior.htm

Página web con ejercicios sobre todos los aspectos que abarca la integración definida, desde las funciones escalonadas hasta las aplicaciones de las integrales al cálculo de áreas y volúmenes. La página está estructurada en una guía de ejercicios, un enlace para resolver integrales en línea (INTEGRATOR) y otros contenidos que trata.

http://www.okmath.com/Catego2.asp?clave=17 

Página web con problemas resueltos sobre la regla de Barrow y área bajo una función.

Videos de retroalimentación.

Videos de retroalimentación.

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Lic. Ing. Industrial David Israel Moreno Gonzalez  Universidad INIDE

no cuento con derechos de autos de los videos.