Integración por fracciones parciales

 

Fraccionando el Caos! La Magia de la Integración por Fracciones Parciales

Conosimiento personal

La integración por fracciones parciales es una técnica matemática que te permite resolver integrales de fracciones racionales descomponiéndolas en fracciones más simples, lo cual hace que el proceso de integración sea mucho más manejable. Pero en lugar de ver la fracción como algo complicado,

Imagina que tienes una fracción racional (una división de polinomios) que parece un monstruo matemático gigante. La integración por fracciones parciales lo convierte en piezas más pequeñas y fáciles de manejar. Básicamente, descompones una fracción en sumas o restas de fracciones más simples.

Proceso básico:

1. Factorizar el denominador.
2. Escribir la fracción como una suma de fracciones más simples.
3. Resolver cada fracción individualmente.

Vamos a integrar la fracción:

$$\int \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} \, dx$$

Paso 1: Descomponemos la fracción en fracciones parciales:

Queremos expresar la fracción como la suma de dos fracciones más simples:

$$\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$$

​Expandimos ambos lados:

$$3x + 5 = A(x) - 2A + B(x) + B$$
$$3x + 5 = (A + B)x + (-2A + B)$$

Ahora igualamos los coeficientes de $x$ y los términos constantes:

1. $A + B = 3$
2. $-2A + B = 5$

Resolvemos este sistema de ecuaciones y encontramos:

$$A=2,B=1$$

Paso 4: Reemplazamos $A$ y $B$ en la descomposición:

$$\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}$$

Paso 5: Integramos cada término:

$$\int \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} \, dx = \int \frac{2}{x + 1} \, dx + \int \frac{1}{x - 2} \, dx$$
$$= 2 \ln |x + 1| + \ln |x - 2| + C$$

La integración por fracciones parciales es una herramienta poderosa para resolver integrales de fracciones racionales. El proceso puede parecer un poco largo, pero es muy efectivo para simplificar fracciones complejas y hacer que las integrales sean mucho más fáciles de manejar.

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