Derivadas Implícita

 Derivadas Implícita

Las derivadas implícitas son un método utilizado en cálculo para encontrar la derivada de una función cuando esta no está expresada de manera explícita. 

En lugar de tener una función claramente despejada, la relación entre las variables 

x e y se da mediante una ecuación implícita en la que y no está despejada directamente en términos de x

 Es una técnica para calcular la derivada de una variable dependiente (en este caso y) con respecto a una variable independiente (en este caso x), cuando y está implícitamente definida en términos de x a través de una ecuación.

Concepto Básico

Cuando una ecuación relaciona x e y de manera implícita, por ejemplo, mediante una ecuación como:

$\mathrm{F(x,y)=0}$

y queremos encontrar dx/dy​, usamos la derivada implícita. La idea es derivar ambos lados de la ecuación respecto a x, tratando a $y$ como una función de x. Esto implica que al derivar cualquier término que incluya y, se debe usar la regla de la cadena.

Derivadas de Orden Superior

 Derivadas de Orden Superior.

Conocimiento personal.

En la clase que impartió el docente, se abordó el tema de las Derivadas de Orden Superior, donde se destacó cómo las derivaciones de una función pueden transformarse y distinguirse en múltiples formas. Inicialmente, se calcula la derivada de una función, identificada como $y'$, y el resultado de esta derivación se puede seguir derivando, identificándose como $y''$, $y'''$, así sucesivamente. Esto significa que una función puede derivarse tantas veces como sea necesario según los requisitos del problema.

Este método implica aplicar repetidamente la regla de derivación a la función original. Por ejemplo, si tenemos una función $y = f(x)$:

• La primera derivada, $y'$, representa la tasa de cambio instantáneo de $y$ respecto a $x$.
• La segunda derivada, $y''$, describe cómo cambia la pendiente de $y$ con respecto a $x$.
• La tercera derivada, $y'''$, muestra cómo varía la concavidad de la curva de $y$.
• Y así sucesivamente, con la $n$-ésima derivada, $y^{(n)}$, revelando información más detallada sobre la función original.

Este proceso es crucial en matemáticas y disciplinas como la física y la ingeniería, donde se necesita comprender la dinámica de los sistemas en términos de tasas de cambio y aceleraciones.

 La práctica regular con diversos ejemplos ayuda a fortalecer las habilidades en el cálculo de derivadas de orden superior, preparando para enfrentar problemas más complejos y situaciones del mundo real.

Dominar este concepto proporciona una base sólida para el análisis avanzado y la modelización en diferentes campos, donde las derivadas de orden superior son herramientas fundamentales para explorar fenómenos complejos y tomar decisiones informadas.

Conocimiento de consulta.

Las derivadas de orden superior son un concepto fundamental en el cálculo diferencial que permite analizar cómo cambian las tasas de cambio de una función a medida que se aplican derivaciones sucesivas. Este proceso no solo proporciona información sobre la pendiente de una función, sino también sobre cambios en la concavidad y otras propiedades importantes de la curva.

Concepto y Aplicación

Las derivadas de orden superior se obtienen aplicando la derivada a la función original repetidamente. La primera derivada $y' = \frac{dy}{dx}$ representa la tasa de cambio instantánea de $y$ respecto a $x$. La segunda derivada $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ describe cómo cambia la pendiente de $y$ con respecto a $x$, revelando información sobre la concavidad de la curva.

Así, la $n$-ésima derivada $y^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}$ proporciona detalles cada vez más refinados sobre la función original.

Ejemplo

Consideremos la función $y = x^3$:

1. Primera derivada: $y' = \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2$
   

2. Segunda derivada: $y'' = \frac{d}{dx}[3x^2] = 6x$
   

3. Tercera derivada: $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}[6x]=6$

4. Cuarta derivada: $y^{(4)} = \frac{d}{dx}[6] = 0$
   

En este ejemplo, vemos cómo cada derivada sucesiva nos da información adicional sobre la función original $y = x^3$, desde la pendiente inicial hasta detalles sobre la curvatura y la aceleración.

Importancia y Aplicaciones

Las derivadas de orden superior son esenciales en disciplinas como la física, la economía y la ingeniería, donde se utilizan para modelar fenómenos complejos y tomar decisiones informadas. Estas herramientas matemáticas permiten entender mejor el comportamiento de sistemas dinámicos y optimizar procesos en diversas aplicaciones prácticas.

Validación y Referencias

Para validar esta información, autores reconocidos en el campo del cálculo diferencial y las matemáticas incluyen:

• Michael Spivak en "Cálculo Infinitesimal".

• James Stewart en "Cálculo de Varias Variables".

• Tom M. Apostol en "Cálculo".

• Ron Larson en "Cálculo y Geometría Analítica".

Estos autores proporcionan una base teórica sólida y ejemplos aplicados que respaldan la comprensión de las derivadas de orden superior y su importancia en el análisis matemático.

Conclusión

Dominar las derivadas de orden superior es crucial para profundizar en el análisis matemático y modelar problemas del mundo real. La práctica con ejemplos variados y la comprensión de las propiedades derivativas permiten a los estudiantes y profesionales aplicar estas herramientas con confianza en diversos contextos académicos y profesionales.

Derivadas exponenciales y logarítmicas

Derivadas exponenciales y logarítmicas

Conocimiento personal.

En la clase de cálculo diferencial, el maestro nos sorprende con un conocimiento sobrenatural al presentarnos las últimas reglas que utilizaremos a lo largo de este camino de crecimiento y conocimiento. Le agradezco sin más preámbulos y comenzamos con el nombre de Euler, que es una constante matemática aproximadamente igual a 2.71828, y la otra es LN, que significa logaritmo natural. Al principio, empezamos con procedimientos sencillos, pero al avanzar, me perdí en el desarrollo de las operaciones. En las funciones que debíamos derivar, se requería aplicar una combinación de reglas complicadas y ahí es donde tuve dificultades. Personalmente, considero que no tengo esa capacidad innata para resolver los problemas que se plantearon en clase. Sin embargo, gracias a vídeos y a la investigación, he logrado entender y practicar la solución de las funciones.

Conocimiento de consulta.

Euler y la Constante e:

Leonhard Euler, un matemático suizo del siglo XVIII, es conocido por sus numerosas contribuciones al campo de las matemáticas, entre ellas la introducción de la constante matemática e. La constante e se define como el límite de (1 + 1/n)^n cuando n tiende a infinito, y tiene un valor aproximado de 2.71828. Euler demostró que e es fundamental en el cálculo diferencial e integral, ya que aparece naturalmente en muchas situaciones donde el crecimiento exponencial está presente.

Citas y referencias:

• Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum. En esta obra, Euler desarrolla el concepto de la constante e y su importancia en el cálculo diferencial.

• Stewart, J. (2011). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Editorial Cengage Learning. Stewart explica cómo la constante e emerge en el contexto del crecimiento exponencial y su derivación en el cálculo diferencial.

Logaritmo Natural (LN):

El logaritmo natural, denotado como LN o ln(x), es el logaritmo en base e. Es fundamental en cálculo diferencial porque la derivada del logaritmo natural de una función es esencial para calcular tasas de cambio relativas. Se define como la integral indefinida de 1/x, lo que significa que ln(x) representa el área bajo la curva 1/t desde t=1 hasta t=x. El logaritmo natural tiene aplicaciones en áreas como la física, la economía y la biología, donde las tasas de crecimiento y decaimiento se modelan usando esta función.

Citas y referencias:

• Simmons, G. F. (2007). Cálculo con geometría analítica. McGraw-Hill. Simmons aborda el logaritmo natural como parte integral del estudio del cálculo diferencial, explicando su definición, propiedades y aplicaciones.

• Spivak, M. (1967). Cálculo Infinitesimal. Publicación independiente. Spivak explora profundamente las bases del cálculo diferencial, incluyendo el tratamiento del logaritmo natural y su relación con la derivación.

Euler y el logaritmo natural (LN) tienen aplicaciones importantes en la vida cotidiana, desde situaciones financieras hasta ciencias naturales. Aquí te presento algunas áreas donde se utilizan estas constantes y funciones:

1. Intereses Compuestos en Finanzas: En el ámbito financiero, la constante matemática e de Euler se utiliza para calcular intereses compuestos. Por ejemplo, cuando se calculan los intereses sobre una inversión que se capitaliza continuamente, la fórmula utiliza e como base exponencial. Esto es crucial en la planificación financiera y en la evaluación de inversiones a largo plazo.

2. Modelado de Crecimiento y Decaimiento: El logaritmo natural (LN) se usa ampliamente para modelar fenómenos de crecimiento y decaimiento en biología, química, física y economía. Por ejemplo, en biología, las poblaciones que crecen o disminuyen exponencialmente se modelan con funciones que involucran el logaritmo natural. En economía, el crecimiento económico o el decaimiento de ciertas variables económicas pueden ser modelados usando LN.

3. Probabilidad y Estadística: En el campo de la probabilidad y la estadística, LN se utiliza en la distribución normal y en otros modelos estadísticos. La distribución normal está relacionada con la función exponencial que usa e como su base, lo que la hace fundamental para comprender y analizar datos en diversos contextos, desde la investigación científica hasta la toma de decisiones empresariales.

4. Ingeniería y Tecnología: En ingeniería y tecnología, tanto Euler como LN son esenciales para diseñar algoritmos eficientes, modelar sistemas dinámicos y simular comportamientos complejos. Por ejemplo, en el diseño de circuitos eléctricos, el análisis de sistemas de control o la programación de computadoras, estas herramientas matemáticas son utilizadas para resolver problemas y optimizar soluciones.

5. Medicina y Ciencias de la Salud: En medicina, el logaritmo natural se utiliza para modelar la cinética de los fármacos en el cuerpo humano y para comprender el crecimiento y la regresión de enfermedades. Además, las aplicaciones de e y LN son fundamentales en estudios epidemiológicos y en la investigación de enfermedades, donde la modelización matemática ayuda a prever la propagación de enfermedades y a diseñar estrategias de prevención.

Estos son solo algunos ejemplos de cómo Euler y el logaritmo natural se aplican en situaciones cotidianas. Su utilidad va más allá del aula de matemáticas, afectando muchos aspectos de nuestras vidas y la comprensión del mundo que nos rodea.

Reglas de derivación algebraicas y trigonométricas

 
 Derivación algebraicas y trigonométricas.

Conocimiento personal.

En el contexto del cálculo diferencial, las reglas de derivación trigonométrica desempeñan un papel fundamental al permitirnos encontrar la tasa de cambio instantánea de funcione
s que incluyen términos trigonométricos como el seno, coseno, tangente, entre otros. Estas reglas son enseñadas detalladamente en un anexo presentado por el docente durante nuestras clases. Este anexo explora cinco reglas principales, cada una ilustrada con tres ejemplos para facilitar la comprensión y aplicación práctica de las mismas.

Importancia y Aplicación

Las funciones trigonométricas son omnipresentes en problemas que involucran fenómenos periódicos y oscilatorios, comunes en física, ingeniería y ciencias naturales. Dominar las reglas de derivación trigonométrica no solo mejora nuestra capacidad para resolver problemas teóricos, sino que también nos equipa para abordar situaciones prácticas donde estas funciones son cruciales para modelar y predecir comportamientos complejos.

Conocimiento de consulta.

La derivación de las funciones trigonométricas

 es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonometrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composicion de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la funcion compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o escrito en notación de Leibniz

Ejemplo:

f(x)=(2x³+3)³

f ‘(x)=3(2x³+3)²(6x²)

f ‘(x)=18x²(2x³+3)²

Derivada de un cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

Es decir:

«La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado».

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es  y se multiplique por la derivada del numerador que seria ; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador () sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de , que seria , todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

Cálculo Diferencial e Integral" por William Anthony Granville.

Análisis Matemático I: Cálculo Diferencial" por Eduardo Espinoza Ramos.

“Derivadas de Funciones Elementales: Reglas y Ejemplos Prácticos”

 

Conocimiento personal.

Durante la última sesión de clases, el profesor nos sorprendió al introducir un nuevo componente en el plan de estudios del segundo cuatrimestre:siete reglas fundamentales de derivación. Estas reglas no solo representan un avance significativo en nuestro entendimiento del cálculo diferencial, sino que también prometen simplificar drásticamente el proceso de resolver funciones complejas. El profesor explicó detalladamente que estas reglas son procedimientos más compactos y eficientes, diseñados para abordar una variedad de funciones con mayor facilidad. Nos enseñó cómo, en algunos casos, podemos derivar funciones simplemente observándolas, dependiendo de su complejidad. Esta perspectiva transformadora no solo amplía nuestro repertorio matemático, sino que también potencia nuestra capacidad para enfrentar desafíos más difíciles con confianza y precisión. Personalmente, encontré fascinante la forma en que el profesor desglosó cada regla y demostró su aplicación práctica en ejemplos específicos. Su enfoque claro y estructurado facilitó el seguimiento de las instrucciones, permitiéndonos comprender rápidamente cómo implementar estas herramientas poderosas en nuestros propios análisis matemáticos. Estoy convencido de que estas reglas no solo son valiosas para simplificar las soluciones durante los exámenes y trabajos prácticos, sino que también fortalecen nuestra comprensión fundamental del proceso de derivación. Al adoptar estas técnicas, estoy seguro de que mejoraremos nuestra capacidad para abordar problemas de cálculo diferencial de manera más efectiva y eficiente en el futuro.

Moreno, David Israel

Técnico de Mtto de Equipo III

Conocimiento de consulta.

Las siete reglas básicas de derivación se utilizan ampliamente en el cálculo diferencial para encontrar la derivada de funciones algebraicas. Aquí tienes un resumen de cómo y dónde se pueden implementar estas reglas:

1. Potencia de x: Esta regla es fundamental para derivar funciones polinómicas y cualquier función donde $x$ esté elevado a una potencia. Por ejemplo, $x^2, x^3,$ etc.

2. Constante multiplicada por x: Es útil para funciones lineales o aquellas donde una constante está multiplicada por $x$. Por ejemplo, $2x,-3x,$

3. Suma y resta: Se aplica cuando necesitas encontrar la derivada de la suma o resta de dos funciones. Por ejemplo, $x^2 + 3x, \sin(x) - \cos(x),$ etc.

4. Producto (Regla del Producto): Es esencial cuando tienes que derivar el producto de dos funciones. Esta regla se usa frecuentemente en situaciones donde hay interacción entre dos variables o funciones. Por ejemplo, al derivar $x \cdot \sin(x)$.

5. Cociente (Regla del Cociente): Se utiliza para derivar funciones que están en forma de cociente, es decir, una función dividida por otra. Esta regla es crucial en situaciones donde se necesita determinar la tasa de cambio de una variable respecto a otra variable que puede cambiar de manera independiente. Por ejemplo, al derivar $\frac{x}{\sin(x)}$.

6. Funciones exponenciales: Se aplica cuando tienes funciones exponenciales, donde la base es el número de Euler $e$. Esta regla es común en problemas donde la tasa de crecimiento es proporcional a la magnitud actual de la cantidad. Por ejemplo, al derivar $e^{2x}$
   

7. Funciones logarítmicas: Se utiliza para derivar funciones logarítmicas, donde la variable independiente aparece como argumento del logaritmo natural. Esta regla es fundamental para problemas que involucran tasas de cambio relativas o en situaciones donde se busca el exponente al que se debe elevar una base para obtener una cantidad dada. Por ejemplo, al derivar $\ln(x)$.

Implementar estas reglas te permite encontrar la derivada de una amplia gama de funciones algebraicas y compuestas. Son fundamentales en física, economía, ingeniería y muchas otras disciplinas donde se necesita modelar y analizar el cambio de variables respecto al tiempo o a otras variables independientes. Además, son esenciales para resolver problemas de optimización, encontrar máximos y mínimos de funciones, y entender las tasas de cambio en contextos diversos.

1. Potencia de x: La derivada de $x^n$, donde $n$ es cualquier número real, es $nx^{n-1}$.

2. Constante multiplicada por x: La derivada de $cx$, donde $c$ es una constante, es $c$.

3. Suma y resta: La derivada de la suma o resta de dos funciones $f(x) \pm g(x)$ es la suma o resta de las derivadas de $f(x)$y $g(x)$, respectivamente.

4. Producto (Regla del Producto): La derivada del producto de dos funciones $f(x) \cdot g(x)$ se calcula usando la regla del producto: $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.

5. Cociente (Regla del Cociente): La derivada del cociente de dos funciones $\frac{f(x)}{g(x)}$, donde $g(x) \neq 0$, se calcula usando la regla del cociente: $\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.

6. Funciones exponenciales: La derivada de la función exponencial $e^{f(x)}$ es $e^{f(x)} \cdot f'(x)$.

7. Funciones logarítmicas: La derivada de la función logarítmica $\ln(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{f(x)}$, donde $\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">f</span>}<span\; style="font-size:\; small;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">x</span>}<span\; style="font-size:\; small;">)</span><span\; style="font-size:\; small;">>\; 0</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><br></span><span\; style="font-family:\; arial;"><br></span>}$

James Stewart: Autor de libros ampliamente utilizados como "Cálculo de una variable" y "Cálculo trascendentes tempranas"

Stewart, J. (2015). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (8a ed.). Cengage Learning

dedicate  a David Eduardo Moreno.

Definición de la Derivada

 

Conocimiento personal.

En la primera sesión del segundo parcial, el profesor nos introdujo a un tema fascinante: la definición de la derivada.

Comenzó explicando los conceptos básicos que subyacen a esta herramienta fundamental del cálculo, detallando su significado y el proceso para aplicarla en el plano cartesiano. Además, proporcionó una valiosa revisión de temas previos para establecer conexiones y facilitar la comprensión del desarrollo de las derivadas.

Durante la clase, el profesor presentó cuatro ejercicios de ejemplo que, si bien pude comprender mientras los desarrollaba, me enfrenté a dificultades al intentar resolverlos de forma independiente. La complejidad de los métodos empleados, como el binomio al cuadrado, requirió un minucioso análisis de las ecuaciones para avanzar en el proceso. Asimismo, se utilizaron técnicas como el método del conjugado y el factor común, agregando una capa adicional de desafío al ejercicio.

Para dominar esta técnica, es imperativo practicar diligentemente y buscar la orientación de mentores especializados. La consulta de recursos como videos educativos y la investigación autodidacta son herramientas valiosas para reforzar el entendimiento y avanzar en el dominio de este tema complejo. Con dedicación y persistencia, estoy seguro de que podré alcanzar un mayor nivel de competencia en el manejo de las derivadas.

    Moreno, David Israel

Técnico de Mtto de Equipo III

Conocimiento de consulta.

La derivada por definición es una técnica fundamental en el campo del cálculo que nos permite entender cómo cambia una función en un punto específico. Para comprender este concepto, es crucial entender la noción de tasa de cambio instantánea. Imagina que estás siguiendo el movimiento de un objeto en el tiempo, y deseas saber cuál es su velocidad en un instante particular. La velocidad promedio entre dos puntos te da una idea general, pero ¿qué pasa si deseas conocer la velocidad exactamente en un momento específico? Aquí es donde entra en juego la derivada por definición. Nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. La idea es simple, pero poderosa: en lugar de tomar un intervalo grande entre dos puntos, lo reducimos a cero para obtener la tasa de cambio en un punto exacto. Matemáticamente, esto se expresa como.

Donde f′(x) representa la derivada de la función $f(x)$ con respecto a $\mathrm{<br>}$.

 Aquí, $h$ representa el cambio en $x$, y cuando se acerca a cero, obtenemos la tasa de cambio instantánea.

Imagina una curva suave representando la función $f(x)$. 

La derivada en un punto  X

$nos\; da\; la\; pendiente\; de\; la\; recta\; tangente\; a\; esa\; curva\; en\; ese\; punto.\; Esta\; pendiente\; indica\; cómo\; está\; cambiando\; la\; función\; exactamente\; en\; ese\; punto,\; brindándonos\; una\; comprensión\; profunda\; de\; su\; comportamiento\; local.$

La derivada por definición no solo es una herramienta poderosa en matemáticas, sino que también tiene aplicaciones en física, economía, ingeniería y muchas otras áreas. Nos permite modelar y comprender el mundo que nos rodea con mayor precisión, proporcionándonos una visión más clara de los procesos dinámicos que observamos.

Rodriguez, C. R. (2009). Definición de la derivada y la integral. [Animación]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/138

Continuidad de una función

 

Conocimiento personal.

Durante la tercera clase, el profesor introdujo el tema de la continuidad de una función, donde se explicó que una función $F(x)$ es continua en un punto $x=\mathrm{a }$si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. El punto $x=a$ tiene una imagen definida.
2. Existe el límite de la función en el punto $x=a$.
3. La imagen en el punto coincide con el límite de la función en ese punto.

Desde mi perspectiva, la explicación brindada durante la clase fue excepcionalmente clara y comprensible. 

Pude entender fácilmente la explicación de los ejercicios realizados en clase y, aún mejor, logré resolver tres ejercicios por mi cuenta. 

En resumen, considero que la sesión fue un completo éxito en términos de adquisición de conocimientos.

Mi comprensión del propósito de esta clase radica en determinar si una función es continua o discontinua mediante la verificación del desarrollo de operaciones, comenzando por definir la imagen y luego los límites laterales.

Conocimiento de consulta.

https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones

Continuidad De Funciones.

Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. 

En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz.

 La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

Continuidad de una función

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

• 
  La función existe en a.
• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.

El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b

La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.

Funciones continuas

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:

Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.
Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.
Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

Propiedades de las funciones continuas.

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Discontinuidades evitables.

Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.

Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente:

Se calcula el valor del límite de la función en el punto a.
Se añade el punto a al dominio de definición de la función, y se le asigna el valor:

La función f (x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 2. F(x) sería continua en R.

Discontinuidades no evitables

Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse, por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas discontinuidades se clasifican en:

Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no coinciden.
Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es infinito.
Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden.

En sentido genérico, se llama discontinuidad de segunda especie a la que tiene lugar cuando uno de los límites laterales es finito y el otro es infinito o no existe.

dedicate  a David Eduardo Moreno.