Integrales Definidas

                El Arte de Encontrar el Área Bajo la Curva y Arriba de la Confusión

Conosimiento personal

El conocimiento impartido por el docente nos presenta las integrales definidas como un cambio radical en comparación con las antiderivadas. A través de una exposición teórica clara, se nos explica qué son las integrales y cómo se aplican. Desde mi perspectiva, el nivel de dificultad ha aumentado considerablemente, y me he esforzado por entender el desarrollo de las operaciones y sus procedimientos.

El maestro muestra varias maneras de llegar a los resultados, incluyendo métodos antiguos utilizados por grandes científicos y matemáticos. Hemos hecho un recorrido en el tiempo a través de estas técnicas de integración y luego las comparamos con los métodos actuales, comprobando que ambos son factibles. Sin embargo, el método moderno resulta ser más preciso, especialmente en los resultados decimales.

Antes de finalizar la clase, el docente nos proporcionó ejercicios, donde el que terminara primero podría irse. Me sorprendió darme cuenta de que realmente había comprendido el proceso de desarrollo, gracias al apoyo del maestro. Espero que, al trabajar en las tareas, el aprendizaje se vuelva aún más claro.

Conosimiento deconsulta.

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES .

Proyecto e-Math 13 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu), Ángel A. Juan (ajuanp@uoc.edu)

En este bock trataremos el problema del cálculo del Área y su importancia en otras ramas de la ciencia para la resolución de situaciones reales, tales como puede ser el cálculo del espacio recorrido por un móvil en Física. Le daremos un enfoque histórico y veremos algunos ejemplos que surgieron hace más de 2.000 años, cuando los griegos inventaron el método de exhaución para calcular áreas de figuras planas. Veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la regla de Barrow, conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. 

El método de Exhaución. El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas

Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados. Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos. 

Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta.

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando. 

‰ Integral de una función escalonada.
 Propiedades. 

Nos parece interesante, antes de definir la integral de una función cualquiera, estudiar la integral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y fáciles, y todas las propiedades de estas integrales son las mismas que las de las integrales de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremos de integral de una función general, será a partir de estas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función. 

Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX

Como vimos en el apartado 1, este tipo de funciones se llaman escalonadas. Nos interesa calcular el área que delimitan f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX. El área que nos interesa se puede descomponer en tres rectángulos: el “rectángulo” A cuya base es el intervalo [0,1], y altura 1; el rectángulo B de base [1,2], y altura 3; y el rectángulo C de base [2,4], y altura 5. Por lo tanto, para calcular el área total hemos de sumar el área de estos tres rectángulos. Si denotamos por x0, x1, x2, x3 los puntos que delimitan las bases de los rectángulos y por r1, r2, r3 las alturas de dichos rectángulos tenemos que. 

http://www.sectormatematica.cl/educsuperior.htm

Página web con ejercicios sobre todos los aspectos que abarca la integración definida, desde las funciones escalonadas hasta las aplicaciones de las integrales al cálculo de áreas y volúmenes. La página está estructurada en una guía de ejercicios, un enlace para resolver integrales en línea (INTEGRATOR) y otros contenidos que trata.

http://www.okmath.com/Catego2.asp?clave=17 

Página web con problemas resueltos sobre la regla de Barrow y área bajo una función.

Videos de retroalimentación.

Videos de retroalimentación.

Videos de retroalimentación.

Lic. Ing. Industrial David Israel Moreno Gonzalez  Universidad INIDE

no cuento con derechos de autos de los videos.

"Integralmente Divertido"

 

Conocimiento personal

En la primera clase del tercer cuatrimestre, el docente nos introdujo a un nuevo y emocionante tema: el cálculo integral. Con gran entusiasmo, nos animó a dominar esta poderosa herramienta matemática, subrayando su importancia en la resolución de problemas complejos. Para comenzar, nos enfocamos en las antiderivadas, que, según el docente, son fundamentalmente la inversa de las derivadas. En otras palabras, si las derivadas nos ayudan a entender cómo cambian las funciones, las antiderivadas nos permiten reconstruir esas funciones a partir de sus tasas de cambio.

Durante la presentación de ejemplos, me di cuenta de que, aunque el concepto de integración puede parecer nuevo, no es tan diferente de lo que hemos aprendido anteriormente. El proceso de integrar una función se asemeja a invertir el proceso de diferenciación. A medida que el docente nos guiaba a través de varios problemas, pude notar que, a pesar de las nuevas reglas y técnicas, el principio subyacente es bastante consistente con los conceptos previos de cálculo.

El maestro enfatizó que la clave para entender el cálculo integral es la "S" de suma, simbolizando la integral como una suma acumulativa de áreas bajo una curva. Este enfoque nos ayuda a visualizar cómo la integración se basa en sumar infinitesimales contribuciones para obtener un resultado total. Al desglosar y aplicar estas nuevas reglas y métodos, se hizo evidente que la integración es una extensión natural de las derivadas, proporcionando una nueva perspectiva y herramientas para abordar problemas matemáticos.

A pesar de que al principio el cálculo integral puede parecer desafiante, estoy convencido de que con la práctica y la dedicación podré dominar este procedimiento y comprender plenamente su aplicación.

Acontinuacion el maestro nos solicito una investigación de calculo integral les comparto el conocimiento citado y adquirido mediante la investigació.

Investigacion general de calculo integral

Introducción

El cálculo integral es una rama fundamental del cálculo que se ocupa de la acumulación de cantidades y la determinación de áreas bajo curvas. Su desarrollo ha sido crucial para la matemática moderna y tiene aplicaciones extensivas en ciencia, ingeniería, y economía.

Historia y Desarrollo

El cálculo integral fue formalmente desarrollado en el siglo XVII por los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Ambos hicieron contribuciones simultáneas e independientes que llevaron a la creación del cálculo infinitesimal, que se divide en dos ramas principales: diferenciación y integración.

• Isaac Newton (1643-1727) formuló las bases del cálculo integral y diferencial en su obra "Mathematical Principles of Natural Philosophy" (1687). Newton utilizó el cálculo para describir el movimiento y las fuerzas en la física, pero no publicó formalmente un tratado completo sobre el cálculo.

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) introdujo la notación moderna del cálculo en su trabajo "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" (1684). Su notación, que incluye los símbolos ∫ para la integración y d para la diferenciación, es la que se usa hoy en día.

La disputa sobre la prioridad del descubrimient
o, conocida como la "controversia Newton-Leibniz", se resolvió más tarde, reconociendo las contribuciones significativas de ambos matemáticos al desarrollo del cálculo.

Conceptos Clave

El cálculo integral se basa en dos conceptos fundamentales:

1. Integral Indefinida: Representa la colección de todas las antiderivadas de una función.Si F(x) es una antiderivada de F(x) entonces:

∫f(x)dx=F(x)+C

Ejemplos de Aplicación

1. Física: En la física, las integrales se utilizan para calcular la distancia recorrida por un objeto a partir de su velocidad. Si $v(t)$ es la velocidad en función del tiempo, la distancia recorrida en el intervalo de tiempo de $a$ a $b$ es:

2. En economía, las integrales son útiles para calcular el valor presente de flujos de efectivo continuos. Por ejemplo, si 𝑅(𝑡) R(t) es una función de ingresos en función del tiempo, el valor presente de estos ingresos se calcula.

• El cálculo integral es una herramienta matemática esencial que ha revolucionado el análisis y la resolución de problemas en diversas disciplinas. Su desarrollo por Newton y Leibniz marcó el comienzo de una nueva era en la ciencia y la tecnología, facilitando el análisis de fenómenos continuos y la resolución de problemas complejos.
• 
  

Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Leibniz, G. W. (1684). Nova Methodus pro Maximis et Minimis.

Historia del calculo integrala

Integrales Indefinidas

Conocimiento personal.

Inicio del Tercer Cuatrimestre: Cálculo Integral

En esta etapa, se aclararán los métodos de evaluación para este período y los porcentajes correspondientes.

Solicito considerar reducir el peso del examen en un 10% y redistribuir ese porcentaje a las tareas.

La razón de esta propuesta es el nivel requerido en los informes de Blogger en el cual la retroalimentacion en el proceso de desarrollo es muy enriquesedora desde mi punto de vista el valor agregado actualmente no lo refleja.

Al inicio de la clase, el profesor introduce el tema de la antiderivada o integral indefinida. Comienza presentando las siete reglas fundamentales que se utilizarán en este proceso. El profesor proporciona ejemplos detallados, mostrando paso a paso cómo aplicar y resolver cada una de las reglas.

Desde mi perspectiva, el nivel de dificultad es moderado. Para aliviar esta sensación, el profesor asigna tareas adicionales que permiten practicar y dominar el material. Además, se realizan ejercicios en clase en los que cada estudiante resuelve un problema, asegurando que todos avancemos al mismo ritmo y asimilemos el conocimiento que se nos enseña.

Es importante entender que la integral indefinida puede considerarse como el proceso inverso de la derivación, actuando como una regresión a partir de la derivación de un producto.

Moreno, David Israel

Ing. de Mtto de Equipo III

Conocimiento de consulta.

Conocimiento de consulta.

Integral indefinida y métodos de integración Luis Ángel Zaldívar Cruz Departamento de Ciencias Básicas Instituto Tecnológico de Tehuacán 7 de octubre de 2014

El cálculo es principalmente el estudio de la derivada y la integral, y la relación entre estos dos conceptos. Ya hemos estudiado la derivada y hemos dado algunas de sus más importantes aplicaciones. En este capítulo nos embarcaremos en el estudio de la integral indefinida. Introduciremos primero el concepto de antiderivada de una función continua. En este capítulo utilizaremos el hecho de que para toda función continua existe una antiderivada. Finalmente, utilizaremos la antiderivada de una función para introducir la noción de la integral indefinida de una función continua. 

Antiderivada de una función

 El problema básico del cálculo diferencial es: Dada una función g, determinar la derivada g ′ . El problema que estudiaremos en este capítulo es el problema inverso: Dada una derivada g ′ , determinar la función g, el cual también puede ser enunciado como: Dada una función f, encontrar una función F tal que F ′ = f. Por ejemplo, sea f(x) = 12x ^5 . En este caso es fácil hallar una función F tal que F ′ (x) = f(x), pues sabemos que al derivar una potencia de x ésta se reduce en uno y por tanto, para obtener F hay que aumentar en uno el exponenente dado. Así, sea F(x) = ax^6 , donde a es una constante por determinar. Derivando, se obtiene F ′ (x) = 6ax^5 y para que sea igual a f(x), a debe ser igual a 2. Entonces, la función F definida por F(x) = 2x^ 6 tiene la propiedad de que F ′ = f. De acuerdo con la siguiente definición, F es una antiderivada de f. Definición 1. Una función F es una antiderivada de otra función f si F ′ = f

Integral indefinida

Se necesita una notación apropiada que facilite el trabajo con las antideriva[1]das. Como se verá cuando se estudie el Teorema Fundamental del Cálculo, hayuna relación estrecha entre los conceptos de integral definida y antiderivada deuna función. Debido a esta relación, denotaremos las antiderivadas utilizando elsímbolo de integral ´, que es una S alargada, y denominaremos a la antideriva[1]da más general de una función como integral indefinida. Esto se especifica en ladefinición siguiente.

Definición 2. La integral indefinida ´

f(x)dx de la función f (o de f(x)) se

define como

ˆ

f(x) dx = F(x) + C

donde F es una antiderivada de f y C es una constante arbitraria.

 [1] Haaser, Norman B., J.P. LaSalle and J.A. Sullivan. Introduction to Analysis. Blaisdell Publishing Company, 195

[2] Stein, Sherman K. Calculus and Analytic Geometry. McGraw-Hill Book Co., 1982. [3] Stewart, James. Calculus Single Variable. Thomson-Brooks/Cole, 2009. [4] Thomas, George B. Calculus, Single Variable. Addison-Wesley, 2010. [5] Protter, Murray H. and C. B. Morrey. Calculus with Analytic Geometry, A first course. Addison-Weley Co., 1963. [6] Swokowski, Earl

 W. Calculus with Analytic Geometry. PWS Publishers, 1988.

A continuación, proporcionamos una lista de integrales inmediatas, las cuales pueden ser probadas por derivación directa.

Las antiderivadas, o integrales indefinidas, tienen aplicaciones prácticas en diversos aspectos de la vida cotidiana y en diferentes campos. Aquí algunos ejemplos ilustrativos de cómo se utilizan en situaciones reales:

1. Cálculo de Áreas Bajo Curvas:

   • Ejemplo: En la ingeniería civil, se utilizan antiderivadas para calcular el área bajo curvas que representan cargas variables sobre estructuras, como puentes o edificios. Esto ayuda a diseñar estructuras que puedan soportar esas cargas de manera segura.

2. Crecimiento de Poblaciones:

   • Ejemplo: Los ecólogos y demógrafos usan antiderivadas para modelar el crecimiento de poblaciones de especies animales o humanas. Si la tasa de crecimiento de una población cambia con el tiempo, la antiderivada de esa tasa de crecimiento proporciona la población total en un momento dado.

3. Economía y Finanzas:

   • Ejemplo: En la economía, se puede utilizar la antiderivada para calcular el valor acumulado de una inversión a lo largo del tiempo, dado el interés compuesto variable. La función de interés acumulado es una antiderivada de la tasa de interés instantánea.

Ing. David Israel Moreno Gonzalez

Sep/08/2024