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Conocimiento personal.
Conocimiento de consulta.
Integral indefinida y métodos de integración Luis Ángel Zaldívar Cruz Departamento de Ciencias Básicas Instituto Tecnológico de Tehuacán 7 de octubre de 2014
El cálculo es principalmente el estudio de la derivada y la integral, y la relación entre estos dos conceptos. Ya hemos estudiado la derivada y hemos dado algunas de sus más importantes aplicaciones. En este capítulo nos embarcaremos en el estudio de la integral indefinida. Introduciremos primero el concepto de antiderivada de una función continua. En este capítulo utilizaremos el hecho de que para toda función continua existe una antiderivada. Finalmente, utilizaremos la antiderivada de una función para introducir la noción de la integral indefinida de una función continua.
Antiderivada de una función
El problema básico
del cálculo
diferencial es: Dada una función
g, determinar la derivada g ′
. El problema que estudiaremos en este capítulo es el problema inverso: Dada una derivada g ′ ,
determinar la función g, el
cual también puede
ser enunciado como: Dada una función
f, encontrar una función F tal
que F ′ = f.
Por ejemplo, sea f(x) = 12x ^5 . En este caso es fácil hallar una función F tal que F ′ (x) = f(x), pues sabemos que al
derivar una potencia de x ésta
se reduce en uno y por tanto, para obtener F hay que aumentar en uno el
exponenente dado. Así, sea
F(x) = ax^6 , donde a es una constante por determinar. Derivando, se obtiene F ′ (x) =
6ax^5 y para que sea igual a f(x), a debe ser igual a 2. Entonces, la función F
definida por F(x) = 2x^ 6 tiene la propiedad de que F ′ = f. De acuerdo con la siguiente
definición, F es
una antiderivada de f. Definición
1. Una función F es
una antiderivada de otra función
f si F ′ = f
Integral indefinida
Se necesita una notación apropiada que facilite el trabajo con las antideriva[1]das. Como se verá cuando se estudie el Teorema Fundamental del Cálculo, hayuna relación estrecha entre los conceptos de integral definida y antiderivada deuna función. Debido a esta relación, denotaremos las antiderivadas utilizando elsímbolo de integral ´, que es una S alargada, y denominaremos a la antideriva[1]da más general de una función como integral indefinida. Esto se especifica en ladefinición siguiente.
Definición 2. La integral indefinida ´
f(x)dx de la función f (o de f(x)) se
define como
ˆ
f(x) dx = F(x) + C
donde F es una antiderivada de f y C es una constante
arbitraria.
Las antiderivadas, o integrales indefinidas, tienen aplicaciones prácticas en diversos aspectos de la vida cotidiana y en diferentes campos. Aquí algunos ejemplos ilustrativos de cómo se utilizan en situaciones reales:
Cálculo de Áreas Bajo Curvas:
- Ejemplo: En la ingeniería civil, se utilizan antiderivadas para calcular el área bajo curvas que representan cargas variables sobre estructuras, como puentes o edificios. Esto ayuda a diseñar estructuras que puedan soportar esas cargas de manera segura.
Crecimiento de Poblaciones:
- Ejemplo: Los ecólogos y demógrafos usan antiderivadas para modelar el crecimiento de poblaciones de especies animales o humanas. Si la tasa de crecimiento de una población cambia con el tiempo, la antiderivada de esa tasa de crecimiento proporciona la población total en un momento dado.
Economía y Finanzas:
- Ejemplo: En la economía, se puede utilizar la antiderivada para calcular el valor acumulado de una inversión a lo largo del tiempo, dado el interés compuesto variable. La función de interés acumulado es una antiderivada de la tasa de interés instantánea.
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