“Derivadas de Funciones Elementales: Reglas y Ejemplos Prácticos”

 

Conocimiento personal.

Durante la última sesión de clases, el profesor nos sorprendió al introducir un nuevo componente en el plan de estudios del segundo cuatrimestre:siete reglas fundamentales de derivación. Estas reglas no solo representan un avance significativo en nuestro entendimiento del cálculo diferencial, sino que también prometen simplificar drásticamente el proceso de resolver funciones complejas. El profesor explicó detalladamente que estas reglas son procedimientos más compactos y eficientes, diseñados para abordar una variedad de funciones con mayor facilidad. Nos enseñó cómo, en algunos casos, podemos derivar funciones simplemente observándolas, dependiendo de su complejidad. Esta perspectiva transformadora no solo amplía nuestro repertorio matemático, sino que también potencia nuestra capacidad para enfrentar desafíos más difíciles con confianza y precisión. Personalmente, encontré fascinante la forma en que el profesor desglosó cada regla y demostró su aplicación práctica en ejemplos específicos. Su enfoque claro y estructurado facilitó el seguimiento de las instrucciones, permitiéndonos comprender rápidamente cómo implementar estas herramientas poderosas en nuestros propios análisis matemáticos. Estoy convencido de que estas reglas no solo son valiosas para simplificar las soluciones durante los exámenes y trabajos prácticos, sino que también fortalecen nuestra comprensión fundamental del proceso de derivación. Al adoptar estas técnicas, estoy seguro de que mejoraremos nuestra capacidad para abordar problemas de cálculo diferencial de manera más efectiva y eficiente en el futuro.

Moreno, David Israel

Técnico de Mtto de Equipo III

Conocimiento de consulta.

Las siete reglas básicas de derivación se utilizan ampliamente en el cálculo diferencial para encontrar la derivada de funciones algebraicas. Aquí tienes un resumen de cómo y dónde se pueden implementar estas reglas:

1. Potencia de x: Esta regla es fundamental para derivar funciones polinómicas y cualquier función donde $x$ esté elevado a una potencia. Por ejemplo, $x^2, x^3,$ etc.

2. Constante multiplicada por x: Es útil para funciones lineales o aquellas donde una constante está multiplicada por $x$. Por ejemplo, $2x,-3x,$

3. Suma y resta: Se aplica cuando necesitas encontrar la derivada de la suma o resta de dos funciones. Por ejemplo, $x^2 + 3x, \sin(x) - \cos(x),$ etc.

4. Producto (Regla del Producto): Es esencial cuando tienes que derivar el producto de dos funciones. Esta regla se usa frecuentemente en situaciones donde hay interacción entre dos variables o funciones. Por ejemplo, al derivar $x \cdot \sin(x)$.

5. Cociente (Regla del Cociente): Se utiliza para derivar funciones que están en forma de cociente, es decir, una función dividida por otra. Esta regla es crucial en situaciones donde se necesita determinar la tasa de cambio de una variable respecto a otra variable que puede cambiar de manera independiente. Por ejemplo, al derivar $\frac{x}{\sin(x)}$.

6. Funciones exponenciales: Se aplica cuando tienes funciones exponenciales, donde la base es el número de Euler $e$. Esta regla es común en problemas donde la tasa de crecimiento es proporcional a la magnitud actual de la cantidad. Por ejemplo, al derivar $e^{2x}$
   

7. Funciones logarítmicas: Se utiliza para derivar funciones logarítmicas, donde la variable independiente aparece como argumento del logaritmo natural. Esta regla es fundamental para problemas que involucran tasas de cambio relativas o en situaciones donde se busca el exponente al que se debe elevar una base para obtener una cantidad dada. Por ejemplo, al derivar $\ln(x)$.

Implementar estas reglas te permite encontrar la derivada de una amplia gama de funciones algebraicas y compuestas. Son fundamentales en física, economía, ingeniería y muchas otras disciplinas donde se necesita modelar y analizar el cambio de variables respecto al tiempo o a otras variables independientes. Además, son esenciales para resolver problemas de optimización, encontrar máximos y mínimos de funciones, y entender las tasas de cambio en contextos diversos.

1. Potencia de x: La derivada de $x^n$, donde $n$ es cualquier número real, es $nx^{n-1}$.

2. Constante multiplicada por x: La derivada de $cx$, donde $c$ es una constante, es $c$.

3. Suma y resta: La derivada de la suma o resta de dos funciones $f(x) \pm g(x)$ es la suma o resta de las derivadas de $f(x)$y $g(x)$, respectivamente.

4. Producto (Regla del Producto): La derivada del producto de dos funciones $f(x) \cdot g(x)$ se calcula usando la regla del producto: $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.

5. Cociente (Regla del Cociente): La derivada del cociente de dos funciones $\frac{f(x)}{g(x)}$, donde $g(x) \neq 0$, se calcula usando la regla del cociente: $\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$.

6. Funciones exponenciales: La derivada de la función exponencial $e^{f(x)}$ es $e^{f(x)} \cdot f'(x)$.

7. Funciones logarítmicas: La derivada de la función logarítmica $\ln(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{f(x)}$, donde $\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">f</span>}<span\; style="font-size:\; small;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">x</span>}<span\; style="font-size:\; small;">)</span><span\; style="font-size:\; small;">>\; 0</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;"><br></span><span\; style="font-family:\; arial;"><br></span>}$

James Stewart: Autor de libros ampliamente utilizados como "Cálculo de una variable" y "Cálculo trascendentes tempranas"

Stewart, J. (2015). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (8a ed.). Cengage Learning

dedicate  a David Eduardo Moreno.

Definición de la Derivada

 

Conocimiento personal.

En la primera sesión del segundo parcial, el profesor nos introdujo a un tema fascinante: la definición de la derivada.

Comenzó explicando los conceptos básicos que subyacen a esta herramienta fundamental del cálculo, detallando su significado y el proceso para aplicarla en el plano cartesiano. Además, proporcionó una valiosa revisión de temas previos para establecer conexiones y facilitar la comprensión del desarrollo de las derivadas.

Durante la clase, el profesor presentó cuatro ejercicios de ejemplo que, si bien pude comprender mientras los desarrollaba, me enfrenté a dificultades al intentar resolverlos de forma independiente. La complejidad de los métodos empleados, como el binomio al cuadrado, requirió un minucioso análisis de las ecuaciones para avanzar en el proceso. Asimismo, se utilizaron técnicas como el método del conjugado y el factor común, agregando una capa adicional de desafío al ejercicio.

Para dominar esta técnica, es imperativo practicar diligentemente y buscar la orientación de mentores especializados. La consulta de recursos como videos educativos y la investigación autodidacta son herramientas valiosas para reforzar el entendimiento y avanzar en el dominio de este tema complejo. Con dedicación y persistencia, estoy seguro de que podré alcanzar un mayor nivel de competencia en el manejo de las derivadas.

    Moreno, David Israel

Técnico de Mtto de Equipo III

Conocimiento de consulta.

La derivada por definición es una técnica fundamental en el campo del cálculo que nos permite entender cómo cambia una función en un punto específico. Para comprender este concepto, es crucial entender la noción de tasa de cambio instantánea. Imagina que estás siguiendo el movimiento de un objeto en el tiempo, y deseas saber cuál es su velocidad en un instante particular. La velocidad promedio entre dos puntos te da una idea general, pero ¿qué pasa si deseas conocer la velocidad exactamente en un momento específico? Aquí es donde entra en juego la derivada por definición. Nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. La idea es simple, pero poderosa: en lugar de tomar un intervalo grande entre dos puntos, lo reducimos a cero para obtener la tasa de cambio en un punto exacto. Matemáticamente, esto se expresa como.

Donde f′(x) representa la derivada de la función $f(x)$ con respecto a $\mathrm{<br>}$.

 Aquí, $h$ representa el cambio en $x$, y cuando se acerca a cero, obtenemos la tasa de cambio instantánea.

Imagina una curva suave representando la función $f(x)$. 

La derivada en un punto  X

$nos\; da\; la\; pendiente\; de\; la\; recta\; tangente\; a\; esa\; curva\; en\; ese\; punto.\; Esta\; pendiente\; indica\; cómo\; está\; cambiando\; la\; función\; exactamente\; en\; ese\; punto,\; brindándonos\; una\; comprensión\; profunda\; de\; su\; comportamiento\; local.$

La derivada por definición no solo es una herramienta poderosa en matemáticas, sino que también tiene aplicaciones en física, economía, ingeniería y muchas otras áreas. Nos permite modelar y comprender el mundo que nos rodea con mayor precisión, proporcionándonos una visión más clara de los procesos dinámicos que observamos.

Rodriguez, C. R. (2009). Definición de la derivada y la integral. [Animación]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/138

Continuidad de una función

 

Conocimiento personal.

Durante la tercera clase, el profesor introdujo el tema de la continuidad de una función, donde se explicó que una función $F(x)$ es continua en un punto $x=\mathrm{a }$si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. El punto $x=a$ tiene una imagen definida.
2. Existe el límite de la función en el punto $x=a$.
3. La imagen en el punto coincide con el límite de la función en ese punto.

Desde mi perspectiva, la explicación brindada durante la clase fue excepcionalmente clara y comprensible. 

Pude entender fácilmente la explicación de los ejercicios realizados en clase y, aún mejor, logré resolver tres ejercicios por mi cuenta. 

En resumen, considero que la sesión fue un completo éxito en términos de adquisición de conocimientos.

Mi comprensión del propósito de esta clase radica en determinar si una función es continua o discontinua mediante la verificación del desarrollo de operaciones, comenzando por definir la imagen y luego los límites laterales.

Conocimiento de consulta.

https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones

Continuidad De Funciones.

Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. 

En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz.

 La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

Continuidad de una función

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

• 
  La función existe en a.
• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.

El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b

La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.

Funciones continuas

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:

Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.
Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.
Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

Propiedades de las funciones continuas.

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

Discontinuidades evitables.

Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.

Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente:

Se calcula el valor del límite de la función en el punto a.
Se añade el punto a al dominio de definición de la función, y se le asigna el valor:

La función f (x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 2. F(x) sería continua en R.

Discontinuidades no evitables

Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse, por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas discontinuidades se clasifican en:

Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no coinciden.
Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es infinito.
Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden.

En sentido genérico, se llama discontinuidad de segunda especie a la que tiene lugar cuando uno de los límites laterales es finito y el otro es infinito o no existe.

dedicate  a David Eduardo Moreno.

Teorema de Limites trigonometricos

 

Conocimiento personal.

En la segunda sesión de clase, nos adentramos en el fascinante mundo de los límites trigonométricos. Durante esta sesión, pude notar un mayor compromiso por parte de todos así como una aplicación más clara y lógica en el desarrollo de las operaciones. A pesar de que al principio no tenía una comprensión clara de la utilidad de herramientas como el coseno, el seno y la tangente, a medida que avanzaba la clase, fui capaz de captar la importancia de estos conceptos en la resolución de problemas y en la comprensión de fenómenos más complejos en matemáticas y otras áreas.

Durante el proceso, se abordaron varios conceptos clave,  como la comprensión de los valores de las funciones trigonométricas en diferentes puntos

unque al principio esto me resultaba un tanto confuso, gracias a la claridad de las explicaciones del profesor y el apoyo de mis compañeros de clase, logré comprender cómo aplicar estos conceptos para simplificar y factorizar los ejercicios que se nos presentaron.

Sin embargo, reconozco que para profundizar aún más en este tema y adquirir un conocimiento más sólido, necesito dedicar más tiempo a la práctica y la aplicación autodidacta. Es evidente que la comprensión de los límites trigonométricos no se limita únicamente al tiempo de clase, sino que requiere de un compromiso personal explorar diferentes ejemplos y situaciones por cuenta propia.

En comparación con la primera clase, siento que hemos experimentado una mejora significativa tanto en los canales de comunicación como en la claridad de las explicaciones. El profesor ha demostrado una gran disposición para responder nuestras preguntas y aclarar nuestras dudas, lo cual ha contribuido en gran medida a mi comprensión del tema. En general, considero que esta segunda clase ha sido un paso adelante en mi proceso de aprendizaje, y estoy emocionado por seguir explorando y profundizando en este apasionante campo de las matemáticas.

Conocimiento de consulta.

https://drive.google.com/file/d/1iAkdmUsPgbbGNgbOgQA1g6geO0APIO49/view

Cortés, J. C., & Aledo Sánchez, J. Á. (2000). Cálculo geométrico del límite de sucesiones trigonométricas. Suma, 34, 53-58. ISO 690 CORTÉS, J.-C.; ALEDO SÁNCHEZ, Juan Ángel. Cálculo geométrico del límite de sucesiones trigonométricas. Suma, 2000, vol. 34, p. 53-5 8. MLA Cortés, J-C., and Juan Ángel Aledo Sánchez. "Cálculo geométrico del límite de sucesiones trigonométricas." Suma 34 (2000): 53-58.

Descripcion de limites trigonometricos

los límites trigonométricos son una extensión de los límites en cálculo que se aplican específicamente a funciones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente. Estos límites se utilizan para determinar el comportamiento de estas funciones cuando la variable independiente se acerca a ciertos valores específicos, como cero, infinito o algún valor particular.

Un ejemplo común es el límite del seno de una función cuando la variable independiente se acerca a cero:

lim⁡𝑥→0sin⁡(𝑥)

x→0

lim

​

sin(x)

Este límite es igual a 0, lo que significa que a medida que x se acerca a cero, el valor del seno de x también se acerca a cero.

Otro ejemplo es el límite del cociente entre el seno y la tangente cuando la variable independiente se acerca a pi/2:

lim⁡𝑥→𝜋2sin⁡(𝑥)tan⁡(𝑥)

x→

2

π

​

lim

​

tan(x)

sin(x)

​

Este límite no existe, ya que la tangente de pi/2 es infinito y el seno de pi/2 es 1, lo que lleva a una indeterminación del tipo "infinito sobre infinito".

Video de guia

Dedicado Eduardo Moreno Gonzalez 

Teorema de Limites y Funciones por factorización/Racionalización.

Conocimiento personal.

 El proceso de aprendizaje comenzó con una sólida conexión con el tema de límites y funciones, gracias a una explicación inicial clara por parte del profesor.

Sin embargo, esta comprensión inicial se desvaneció después de unos 10 minutos de clase, cuando la información empezó a volverse más compleja y los procedimientos para resolver los ejercicios se tornaron confusos.

Reflexionando sobre esta pérdida de comprensión, identifiqué varios factores que contribuyeron a ello.

En primer lugar, noté que las explicaciones del profesor incluían comentarios que, desde mi perspectiva, parecían ambiguos o incluso contradictorios.

Esto generaba confusión y dificultaba mi capacidad para seguir el ritmo de la clase. Además, el cambio en la velocidad de las explicaciones también dificultaba mi comprensión, ya que no siempre podía procesar la información a ese ritmo.

Otro desafío fue la falta de claridad sobre qué herramienta de factorización aplicar en cada situación. Aunque reconocí la importancia de la factorización para resolver límites cuando el valor es indeterminado, me costaba identificar cuál técnica era la más adecuada en cada caso. Esta falta de comprensión se vio agravada por mi falta de práctica y estudio previo.

A pesar de estos obstáculos, logré comprender y aplicar correctamente la sustitución directa en la resolución de ejercicios de límites y funciones. Sin embargo, surgieron dificultades cuando el valor del límite era indeterminado o tendía a 0. En estas situaciones, comprendí la necesidad de aplicar técnicas de factorización para simplificar la expresión y poder evaluar el límite de manera precisa.

Conocimiento de consulta.

http://dspace.ucuenca.edu.ec/handle/123456789/27008

1.1.8. Recursos Didácticos Manipulativos para el aprendizaje de
factorización.

Un estudio actual presenta una alternativa para la enseñanza del proceso de factorización mediante el uso de las “Tabletas algebraicas”, material manipulativo construido por un grupo de estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia en el año 2011. Este material permite establecer una conexión entre la noción de área y la expresión de algunos polinomios de la forma, como producto de factores. Hace especial énfasis en reducir a la mínima expresión los factores cuyo producto determina el polinomio que representa el área del rectángulo formado por las tabletas, buscando conceptualizar el significado del proceso de factorización.

Anexo direccion de autor.

http://dspace.ucuenca.edu.ec/browse?type=author&value=Castillo+Moreno%2C+Wendy+Isabel