Integración de potencias y funciones trigonométricas

 

Conosimineto personal.

A continuación cito textualmente la información compartida por el docente en clase. Cuando las integrales presentan potencias de funciones trigonométricas es necesario utilizar diferentes identidades que permiten obtener una nueva expresión trigonométrica más sencilla para facilitar la integración.

las observaciones y conocimientos que logre percivir y compreneder es que en este metodo hay unas identidades trigonometricas que se utilizan para apoyarse en el desarrollo de estas integrales.

Conosimiento de consulta

La integración de potencias de funciones trigonométricas es un tema fundamental en cálculo, especialmente cuando se trata de aplicar las técnicas adecuadas para resolver integrales que involucran senos y cosenos de diferentes potencias.

https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-integrales-trigonometricas-producto-de-potencias-de-senos-y-cosenos/#:~:text=Caso%201%3A%20Si%20%24n%24%20es%20impar

Integración por fracciones parciales

 

Fraccionando el Caos! La Magia de la Integración por Fracciones Parciales

Conosimiento personal

La integración por fracciones parciales es una técnica matemática que te permite resolver integrales de fracciones racionales descomponiéndolas en fracciones más simples, lo cual hace que el proceso de integración sea mucho más manejable. Pero en lugar de ver la fracción como algo complicado,

Imagina que tienes una fracción racional (una división de polinomios) que parece un monstruo matemático gigante. La integración por fracciones parciales lo convierte en piezas más pequeñas y fáciles de manejar. Básicamente, descompones una fracción en sumas o restas de fracciones más simples.

Proceso básico:

1. Factorizar el denominador.
2. Escribir la fracción como una suma de fracciones más simples.
3. Resolver cada fracción individualmente.

Vamos a integrar la fracción:

$$\int \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} \, dx$$

Paso 1: Descomponemos la fracción en fracciones parciales:

Queremos expresar la fracción como la suma de dos fracciones más simples:

$$\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$$

​Expandimos ambos lados:

$$3x + 5 = A(x) - 2A + B(x) + B$$
$$3x + 5 = (A + B)x + (-2A + B)$$

Ahora igualamos los coeficientes de $x$ y los términos constantes:

1. $A + B = 3$
2. $-2A + B = 5$

Resolvemos este sistema de ecuaciones y encontramos:

$$A=2,B=1$$

Paso 4: Reemplazamos $A$ y $B$ en la descomposición:

$$\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 2}$$

Paso 5: Integramos cada término:

$$\int \frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 2)} \, dx = \int \frac{2}{x + 1} \, dx + \int \frac{1}{x - 2} \, dx$$
$$= 2 \ln |x + 1| + \ln |x - 2| + C$$

La integración por fracciones parciales es una herramienta poderosa para resolver integrales de fracciones racionales. El proceso puede parecer un poco largo, pero es muy efectivo para simplificar fracciones complejas y hacer que las integrales sean mucho más fáciles de manejar.

https://www.youtube.com/matematicasprofealex/join

Tecnicas de integracion por partes

Integración por partes

 Conocimiento personal

Durante la clase del tercer parcial se introdujeron temas nuevos, y uno de ellos fue "Descubrir cómo funcionan las técnicas de integración". El docente nos adelantó que aprenderíamos cuatro métodos de integración, comenzando con la integración por partes.

Este método se basa en una fórmula que nos permite descomponer funciones complejas en productos de funciones más simples, lo cual facilita su resolución. En clase, se presentaron varios ejemplos prácticos que ayudaron a comprender cómo aplicar este procedimiento.

Además, se nos proporcionó una herramienta muy útil para identificar qué parte de la integral corresponde a $u$ y qué parte a $dv$: la regla ILATE. Esta regla nos sugiere el orden de preferencia para elegir $u$ y $dv$, lo que facilita el proceso de integración por partes.

Al seguir los ejemplos y poner en práctica los conceptos, logré entender de manera más clara cómo funciona este método. Sin embargo, lo que más me costó al principio fue el proceso de derivación e integración de las funciones $u$ y $dv$, ya que es crucial obtener correctamente las piezas necesarias para sustituirlas en la fórmula de integración por partes. A pesar de la dificultad inicial, al practicar y aclarar algunos detalles en clase, pude comprender cómo realizar los pasos con mayor seguridad.

Conosimiento de consulta.

La integración por partes es un método utilizado en cálculo para resolver integrales de funciones que se pueden expresar como el producto de dos funciones. Este enfoque es especialmente útil cuando la simple integración de las funciones no resulta factible.

La fórmula básica de la integración por partes se deriva de la regla del producto en cálculo diferencial y se enuncia de la siguiente manera:

Donde:

𝑢 es una función que se elige para derivar.

𝑑𝑣 es la otra parte de la integral que se integra.

𝑑𝑢 es la derivada de 𝑢.𝑣 representa la integral de 𝑑𝑣.

• Proceso de Aplicación

La técnica se aplica siguiendo estos pasos:

Seleccionar 𝑢 y 𝑑𝑣: Se escoge cuidadosamente 𝑢 y 𝑑𝑣 para simplificar el cálculo. Comúnmente, 𝑢

 se escoge de tal manera que su derivada 𝑑𝑢 facilite la integral resultante.

Calcular 𝑑𝑢 y 𝑣: Tras escoger 𝑢, se encuentra 𝑑𝑢 realizando la derivada. De igual manera,

 se integra 𝑑𝑣 para conseguir 𝑣.

Sustituir y simplificar: Se reemplazan los valores de 𝑢, 𝑣, y ∫𝑣,𝑑𝑢 en la fórmula dada.

Resolver la nueva integral: La integral resultante, que se obtiene, debe ser más accesible de resolver. Se lleva a cabo la integración para obtener la función resultante.

Ejemplo de un ejersicio.

Khan Academy. (2024). khanacademy.org. https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/a/integration-by-parts-review